母集団とは調べたい対象全体。例：「今日工場で作ったボルト10万本すべて」。全数測定は不可能なので、一部（サンプル）を取り出して調べます。

母集団の特性を表す値を母数（パラメータ）と呼びます。直接測れない「真の値」です。サンプルから推測するしかありません。

裁判では「被告は無実（推定無罪）」から始め、証拠が揃って初めて「有罪」と判定します。検定も同じです。まず「差がない（H₀）」を前提とし、データが十分な証拠を示したとき「差がある（H₁）」と判定します。証拠不十分なら「無罪（差があるとはいえない）」——「無実（差がない）」ではありません。

正規分布の山を思い浮かべてください。山の真ん中付近は「H₀ が正しいとき普通に起こる値の範囲（採択域）」。両端のほんの一部は「H₀ が正しくても滅多に起きない値の範囲（棄却域）」です。計算した統計量が棄却域に入れば「これは偶然じゃない＝差がある」と判断して H₀ を棄却します。

学校のテストの点数をそのまま比べても、科目ごとの難しさが違うので不公平です。そこで偏差値（平均50、標準偏差10に変換）に直して比べます。統計の標準化も同じ発想で、どんな正規分布も「平均0、標準偏差1」に変換します。これにより1種類の正規分布表（u 表）だけで確率を調べられます。

分子「x̄ − μ₀」：測定した平均と基準値との差。大きいほど変化した可能性が高い。
分母「σ ÷ √n」：サンプル平均のばらつき（標準誤差）。n が大きいほど小さくなり、小さな差でも検出しやすくなる。

σ が既知なら x̄ のばらつきは正確にわかります。でも σ の代わりに V（推定値）を使うと「推定の不確かさ」が加わり、端の確率が少し増えます。これが t 分布です。n が増えて V が σ に近づくほど t 分布は正規分布に近づき、n → ∞ でほぼ一致します。

正規分布に従うデータを2乗して足し合わせると χ²分布に従います。分散 V は「データと平均の差の2乗の合計」から作られるので、χ²分布と相性がよく、母分散の検定に使えます。t 分布と同様に自由度 φ = n − 1 で形が変わり、φ が大きくなるほど正規分布に近い形になります。

V（サンプルの分散）が σ₀²（基準の分散）より小さければ χ₀² は小さくなり、「ばらつきが減った（改善した）」方向へ動きます。片側検定か両側検定かによって棄却域の位置が変わります。

2つの独立した χ²分布の比から生まれる分布です。F 値は「2つの分散の比」なので、両者が等しければ F ≈ 1、大きく異なれば F が極端に大きくなります。F 分布は「分子の自由度 φ₁」と「分母の自由度 φ₂」の2つを持ちます。

なぜ平均の t 検定の前に F 検定が必要？：2標本 t 検定のプーリング公式は「両グループの σ² が等しい（等分散）」前提で設計されています。等分散でない場合は別の方法（ウェルチの検定）が必要なため、先に確認します。

「プーリング（pooling）」＝合わせること。2グループの分散が等しいと確認できたなら、両グループのデータをまとめて1つの分散推定値を作れます。1グループだけのデータよりサンプル数が増えるので、より精度の高い推定ができます。

対応ない例：工場 A の製品10個 vs 工場 B の別の製品10個 → 独立した2標本 → セクション8の方法

対応ある例：同じ9地区で塗料 A と B を試験 → 地区1の A と地区1の B がペア → 地域差というノイズが d = A − B で消える → このセクションの方法

対応があるデータを無視して独立2標本の t 検定を使うと、地域差が「誤差」に混入して検定の精度が下がります。

「母平均は81.6です」と1点で答えると（点推定）、サンプルが変わるたびにズレます。そこで「80.2〜83.0 の間に 95% の確率で含まれる」と区間で答えることで推定の信頼性も一緒に伝えます（区間推定）。この 95% を信頼率、区間を信頼区間と言います。

正規分布では平均 ±1.96σ の範囲に全体の 95% が収まります。サンプル平均 x̄ の分布も同様で、幅は σ/√n（標準誤差）です。α=0.05 なら u(0.05)=1.96 を使います。

χ₀² = S/σ² が χ²分布に従うことを利用して、σ²（未知）の範囲を求めます。χ²分布は左右非対称なので、上限と下限で別々の χ²値を使います。

• n が大きくなる → 分母 √n が増える → 幅が狭くなる（精度アップ）
• σ が小さくなる → そもそものばらつきが小さい → 幅が狭くなる
• 信頼率を 95% → 99% に上げる → 棄却限界値が 1.96 → 2.576 に増える → 幅が広くなる